Albanese varieties of non-Archimedean uniformized varieties. Giné Vázquez, I. Ph.D. Thesis, Universitat Autònoma de Barcelona, July, 2017. Accepted: 2017-09-12T14:35:36Z ISBN: 9788449072246 Publication Title: TDX (Tesis Doctorals en Xarxa)![Albanese varieties of non-Archimedean uniformized varieties [link]](https://bibbase.org/img/filetypes/link.svg "link")
Paper abstract bibtex En esta tesis doctoral ofrecemos una construcción conjetural de la variedad de Albanese de una variedad uniformizada no arquimediana fijándonos en una estructura métrica contenida en la última y llamada su esqueleto (que es, esencialmente, una curva tropical). Para ello realizamos una construcción paralela (real, tropical) sobre el esqueleto, que deviene el esqueleto de nuestra propuesta para variedad de Albanese, la subimos a una construcción analítica sobre la variedad dada y usamos que su esqueleto es el cociente de un cierto subedificio localmente finito de un edificio de Bruhat-Tits, que también aparece como el esqueleto de la variedad uniformizante. Entonces, relacionamos unas ciertas cocadenas armónicas en los edificios con las medidas armónicas en sus finales como paso clave en la demostración de que la construcción hecha es la variedad de Albanese. Esta tesis tiene dos partes principales. Una está dedicada a describir con completa generalidad esta construcción en dimensión 1, mientras en la segunda estudiamos la estructura del edificio de Bruhat-Tits y realizamos una construcción que preveemos que es la variedad de Albanese buscada, bajo la hipótesis de que el cuerpo base tiene una valoración discreta. Empezamos estudiando la Jacobiana de un grafo, en el capítulo 1 sin más estructura, en el capítulo 2 un grafo métrico. Nuestro trabajo, junto con otros, muestra que nuestra descripción de la Jacobiana de un grafo métrico en términos de integración sobre los finales del árbol métrico que es su recubrimiento universal extiende, de alguna manera, la Jacobiana (discreta) de un grafo sin estructura métrica. Aquí introducimos las cocadenas armónicas en los árboles y las medidas armónicas en los finales, y demostramos que hay un isomorfismo entre ellas como paso importante para lograr el resultado principal. En el capítulo 3 desarrollamos la teoría de curvas de Mumford y sus Jacobianas en el marco de la geometría de Berkovich, las relacionamos con sus esqueletos por medio de la aplicación de retracción e introducimos las integrales multiplicativas. Entonces extendemos a nuestras hipótesis generales varios resultados conocidos en casos particulares (por ejemplo, sobre un cuerpo base local) gracias a esas herramientas recientes, y usamos los resutados sobre la Jacobiana de un grafo métrico aplicados al esqueleto correspondiente para obtener que la construcción realizada mediante integrales multiplicativas y medidas armónicas es una variedad abeliana. Después probamos que es la Jacobiana mediante la teoría de funciones theta, desarrollada desde la perspectiva novedosa de la geometría de Berkovich usando funciones tropicales. En el capítulo 4 adaptamos esta construcción a dimensión superior, dando un candidato natural a ser la variedad de Albanese de una variedad uniformizada no arquimediana tal como construyó Mustafin como una generalización de las curvas de Mumford. Para ello extendemos la noción de grupo de Schottky a cualquier dimensión siguiendo el trabajo de Mustafin y estudiamos con detalle la estructura de los edificios de Bruhat-Tits sobre un cuerpo completo con una valoración discreta. Entonces nos retringimos a dimensión 2 para definir las cocadenas armónicas sobre ciertos subcomplejos de cámaras, y probamos que son isomorfas a las medidas armónicas sobre un cierto compacto de los puntos racionales del correspondiente espacio proyectivo cuando el subcomplejo asociado es un edificio. Finalmente, usamos esto para hacer una reducción de la demostración de que la construcción realizada es un toro analítico.
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Esta tesis tiene dos partes principales. Una está dedicada a describir con completa generalidad esta construcción en dimensión 1, mientras en la segunda estudiamos la estructura del edificio de Bruhat-Tits y realizamos una construcción que preveemos que es la variedad de Albanese buscada, bajo la hipótesis de que el cuerpo base tiene una valoración discreta.
Empezamos estudiando la Jacobiana de un grafo, en el capítulo 1 sin más estructura, en el capítulo 2 un grafo métrico. Nuestro trabajo, junto con otros, muestra que nuestra descripción de la Jacobiana de un grafo métrico en términos de integración sobre los finales del árbol métrico que es su recubrimiento universal extiende, de alguna manera, la Jacobiana (discreta) de un grafo sin estructura métrica. Aquí introducimos las cocadenas armónicas en los árboles y las medidas armónicas en los finales, y demostramos que hay un isomorfismo entre ellas como paso importante para lograr el resultado principal.
En el capítulo 3 desarrollamos la teoría de curvas de Mumford y sus Jacobianas en el marco de la geometría de Berkovich, las relacionamos con sus esqueletos por medio de la aplicación de retracción e introducimos las integrales multiplicativas. Entonces extendemos a nuestras hipótesis generales varios resultados conocidos en casos particulares (por ejemplo, sobre un cuerpo base local) gracias a esas herramientas recientes, y usamos los resutados sobre la Jacobiana de un grafo métrico aplicados al esqueleto correspondiente para obtener que la construcción realizada mediante integrales multiplicativas y medidas armónicas es una variedad abeliana. Después probamos que es la Jacobiana mediante la teoría de funciones theta, desarrollada desde la perspectiva novedosa de la geometría de Berkovich usando funciones tropicales.
En el capítulo 4 adaptamos esta construcción a dimensión superior, dando un candidato natural a ser la variedad de Albanese de una variedad uniformizada no arquimediana tal como construyó Mustafin como una generalización de las curvas de Mumford. Para ello extendemos la noción de grupo de Schottky a cualquier dimensión siguiendo el trabajo de Mustafin y estudiamos con detalle la estructura de los edificios de Bruhat-Tits sobre un cuerpo completo con una valoración discreta. Entonces nos retringimos a dimensión 2 para definir las cocadenas armónicas sobre ciertos subcomplejos de cámaras, y probamos que son isomorfas a las medidas armónicas sobre un cierto compacto de los puntos racionales del correspondiente espacio proyectivo cuando el subcomplejo asociado es un edificio. Finalmente, usamos esto para hacer una reducción de la demostración de que la construcción realizada es un toro analítico.},
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Entonces extendemos a nuestras hipótesis generales varios resultados conocidos en casos particulares (por ejemplo, sobre un cuerpo base local) gracias a esas herramientas recientes, y usamos los resutados sobre la Jacobiana de un grafo métrico aplicados al esqueleto correspondiente para obtener que la construcción realizada mediante integrales multiplicativas y medidas armónicas es una variedad abeliana. Después probamos que es la Jacobiana mediante la teoría de funciones theta, desarrollada desde la perspectiva novedosa de la geometría de Berkovich usando funciones tropicales. En el capítulo 4 adaptamos esta construcción a dimensión superior, dando un candidato natural a ser la variedad de Albanese de una variedad uniformizada no arquimediana tal como construyó Mustafin como una generalización de las curvas de Mumford. Para ello extendemos la noción de grupo de Schottky a cualquier dimensión siguiendo el trabajo de Mustafin y estudiamos con detalle la estructura de los edificios de Bruhat-Tits sobre un cuerpo completo con una valoración discreta. Entonces nos retringimos a dimensión 2 para definir las cocadenas armónicas sobre ciertos subcomplejos de cámaras, y probamos que son isomorfas a las medidas armónicas sobre un cierto compacto de los puntos racionales del correspondiente espacio proyectivo cuando el subcomplejo asociado es un edificio. 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